בגרות 482 קיץ 2024 מועד א׳ – שאלה 3חקירת פונקציות טריגונומטריות 571 · שיעור 31
בגרות 482 · קיץ 2024 מועד א׳ · שאלה 3
שיעור 31 – בגרות 482 קיץ 2024 מועד א׳ – שאלה 3
פרק 3 – 10 בגרויות 482: חקירת פונקציה טריגונומטרית (שאלה 3)
1נוסח השאלה
2סעיף א – נקודות קיצון
3סעיף ב – הערכים של a
4סעיף ג – סקיצה
5סעיף ד – טענות על g(x)
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = a − 12(sin x)2 , a הוא פרמטר.
הפונקציה f(x) מוגדרת בתחום 0 ≤ x ≤ 2π .
א. מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) , וקבעו את סוגן. הביעו באמצעות a אם יש צורך.
הישר y = 2 משיק לגרף הפונקציה f(x) .
ב. מצאו את שני הערכים האפשריים של a .
📄 נוסח השאלה · המשך
הציבו בפונקציה f(x) את הערך של a הקטן יותר שמצאתם, וענו על הסעיפים ג–ד.
ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x) .
נתונה הפונקציה g(x) , המקיימת g′(x) = f(x) . הפונקציות f(x) ו־g(x) מוגדרות באותו התחום.
ד. לפניכם שתי טענות I–II. קבעו בעבור כל טענה אם היא נכונה או אינה נכונה. נמקו את קביעותיכם.
I. לפונקציה g(x) יש 3 נקודות קיצון פנימיות.
📄 נוסח השאלה · המשך
II. הפונקציה g(x) עולה בתחום 0 < x < 2π .
סעיף א – נקודות קיצון
הנגזרת – הנגזרת של הפרמטר a היא 0:
הנגזרת של a היא 0.
📐 נגזרת של קבוע
האיבר השני הוא חזקה של sin x :
[(sin x)2]′ = 2sin x · (sin x)′
📐 נגזרת של חזקה (פונקציה מורכבת)
[(sin x)2]′ = 2sin x · cos x
📐 נגזרת של סינוס
f′(x) = −12 · 2sin x cos x
📐 נגזרת של קבוע
הנגזרת של מספר קבוע (גם של פרמטר) היא 0
📐 נגזרת של חזקה (פונקציה מורכבת)
[un]′ = n · un−1 · u′
📐 נגזרת של סינוס
(sin x)′ = cos x
סעיף א – נקודות קיצון · המשך
f′(x) = −12 · 2sin x cos x
f′(x) = −sin x cos x
משווים את הנגזרת ל־0:
−sin x cos x = 0
📐 נקודת קיצון
מכפלה שווה 0, לכן sin x = 0 או cos x = 0 .
📐 מכפלה שווה 0
אפשרות 1: sin x = 0 . הזווית שהסינוס שלה 0 היא 0:
📐 נקודת קיצון
בנקודת קיצון פנימית f′(x) = 0
📐 מכפלה שווה 0
מכפלה שווה 0 כאשר אחד הגורמים שווה 0
סעיף א – נקודות קיצון · המשך
אפשרות 1: sin x = 0 . הזווית שהסינוס שלה 0 היא 0:
x = 0 + 2πk = 2πk
📐 פתרון המשוואה sin x = sin t
x = π − 0 + 2πk = π + 2πk
בתחום 0 ≤ x ≤ 2π : מהמשפחה הראשונה עם k = 0 , 1 , ומהשנייה עם k = 0 :
x = 0 , x = 2π , x = π
אפשרות 2: cos x = 0 . הזווית שהקוסינוס שלה 0 היא π2 :
📐 פתרון המשוואה sin x = sin t
x = t + 2πk
x = π − t + 2πk
x = π − t + 2πk
סעיף א – נקודות קיצון · המשך
אפשרות 2: cos x = 0 . הזווית שהקוסינוס שלה 0 היא π2 :
x = π2 + 2πk
📐 פתרון המשוואה cos x = cos t
x = −π2 + 2πk
בתחום: מהמשפחה הראשונה עם k = 0 , ומהשנייה עם k = 1 :
x = π2 , x = −π2 + 2π = 3π2
קביעת סוג הנקודות – נציב בנגזרת מספר מכל תחום:
📐 פתרון המשוואה cos x = cos t
x = t + 2πk
x = −t + 2πk
x = −t + 2πk
סעיף א – נקודות קיצון · המשך
קביעת סוג הנקודות – נציב בנגזרת מספר מכל תחום:
f′(π4) = −sin π4 cos π4 = −12 < 0
f′(3π4) = −sin 3π4 cos 3π4 = 12 > 0
f′(5π4) = −sin 5π4 cos 5π4 = −12 < 0
f′(7π4) = −sin 7π4 cos 7π4 = 12 > 0
לדוגמה, ב־3π4 :
סעיף א – נקודות קיצון · המשך
לדוגמה, ב־3π4 :
sin 3π4 = √22 , cos 3π4 = −√22
−sin 3π4 cos 3π4 = −√22 · (−√22) = 24 = 12
שיעור ה־y של כל נקודה – מציבים בפונקציה עצמה. נכתוב את הפונקציה:
f(x) = a − 12(sin x)2
סעיף א – נקודות קיצון · המשך
f(x) = a − 12(sin x)2
נציב x = 0 (וכך גם x = π , x = 2π , שבהן sin x = 0):
f(0) = a − 12(sin 0)2 = a − 0 = a
נציב x = π2 :
f(π2) = a − 12(sin π2)2
f(π2) = a − 12 · 12 = a − 12
סעיף א – נקודות קיצון · המשך
f(π2) = a − 12 · 12 = a − 12
נציב x = 3π2 :
f(3π2) = a − 12(sin 3π2)2
f(3π2) = a − 12 · (−1)2 = a − 12
✅ פתרון סופי:
מקסימום: (π , a)
מינימום: (π2 , a − 12) , (3π2 , a − 12)
מקסימום קצה: (0 , a) , (2π , a)
מקסימום: (π , a)
מינימום: (π2 , a − 12) , (3π2 , a − 12)
מקסימום קצה: (0 , a) , (2π , a)
סעיף ב – הערכים של a
הישר y = 2 הוא ישר אופקי (שיפוע 0). ישר אופקי משיק לגרף בנקודה שבה f′(x) = 0 , כלומר בנקודת קיצון פנימית.
שיפוע המשיק שווה לנגזרת בנקודה, ושיפוע של ישר אופקי הוא 0.
📐 משוואת משיק
לכן שיעור ה־y של נקודת המקסימום או של נקודת המינימום שווה 2.
אפשרות 1: הישר משיק בנקודת המקסימום (π , a) :
a = 2
אפשרות 2: הישר משיק בנקודות המינימום (π2 , a − 12) :
📐 משוואת משיק
y − y1 = m(x − x1)
m = f′(x1)
m = f′(x1)
סעיף ב – הערכים של a · המשך
אפשרות 2: הישר משיק בנקודות המינימום (π2 , a − 12) :
a − 12 = 2
a = 2 + 12 = 52 = 2.5
✅ פתרון סופי: a = 2 או a = 2.5
סעיף ג – סקיצה
הערך הקטן יותר הוא a = 2 . נציב בפונקציה:
f(x) = 2 − 12(sin x)2
נציב a = 2 בשיעורי הנקודות מסעיף א:
a = 2 , a − 12 = 2 − 12 = 32
מקסימום: (0 , 2) , (π , 2) , (2π , 2) ; מינימום: (π2 , 32) , (3π2 , 32) .
הערך הקטן ביותר של הפונקציה הוא 32 – חיובי, ולכן כל הגרף מעל ציר x . החיתוך עם ציר y הוא (0 , 2) .
סעיף ג – סקיצה · המשך
הערך הקטן ביותר של הפונקציה הוא 32 – חיובי, ולכן כל הגרף מעל ציר x . החיתוך עם ציר y הוא (0 , 2) .
מחברים לפי הציר מסעיף א: יורדת, עולה, יורדת, עולה.
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה
סעיף ד – טענות על g(x)
נתון g′(x) = f(x) , כלומר הפונקציה f(x) היא הנגזרת של g(x) . לכן הסימן של f(x) קובע אם g(x) עולה או יורדת.
מסעיף ג, הערך הקטן ביותר של f(x) הוא 32 , ולכן בכל התחום:
g′(x) = f(x) ≥ 32 > 0
הנגזרת של g חיובית בכל התחום, ולכן g עולה בכל התחום.
📐 עלייה וירידה
טענה I: בנקודת קיצון פנימית הנגזרת מתאפסת. אבל g′(x) = f(x) אף פעם לא שווה 0 (הגרף של f לא חותך את ציר x). לכן ל־g(x) אין נקודות קיצון פנימיות – הטענה אינה נכונה.
📐 עלייה וירידה
f′(x) > 0 – הפונקציה עולה ↗
f′(x) < 0 – הפונקציה יורדת ↘
f′(x) < 0 – הפונקציה יורדת ↘
סעיף ד – טענות על g(x) · המשך
טענה I: בנקודת קיצון פנימית הנגזרת מתאפסת. אבל g′(x) = f(x) אף פעם לא שווה 0 (הגרף של f לא חותך את ציר x). לכן ל־g(x) אין נקודות קיצון פנימיות – הטענה אינה נכונה.
אין נקודה פנימית שבה g′(x) = 0 .
📐 נקודת קיצון
טענה II: g′(x) > 0 בכל התחום, ולכן g(x) עולה בתחום 0 < x < 2π – הטענה נכונה.
✅ פתרון סופי:
טענה I: אינה נכונה
טענה II: נכונה
טענה I: אינה נכונה
טענה II: נכונה
📐 נקודת קיצון
בנקודת קיצון פנימית f′(x) = 0
📌 סיכום התשובות
סעיף א
מקס. (π , a) , מינ. (π2 , a − 12) , (3π2 , a − 12) , מקס. קצה (0 , a) , (2π , a)
סעיף ב
a = 2 או a = 2.5
סעיף ג
סקיצה
סעיף ד
טענה I אינה נכונה
טענה II נכונה
טענה II נכונה
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא